Ny matematisk teori åpner for raskere MR og tryggere CT

MR-undersøkelser er tidkrevende. Dette oppleves som ubehagelig for mange syke, og setter begrensninger på hvor raskt pasienter kan undersøkes. Ny matematikk fra prisbelønte matematikere gjør at tidsbruken ved MR-undersøkelser kan kuttes ned til en sjettedel.

  Av Andreas Våvang Solbrå 

Moderne mobiltelefoner har kameraer med så mye som ti megapikslers oppløsning. Dette vil normalt kreve så mye data at mobiltelefonen er helt full etter rundt 100 bilder, men så gjøres noe lurt: bildet komprimeres. Selv om vi i innsankingsprosessen trenger all informasjon, kan vi kaste bort det aller meste etterpå uten nevneverdig tap av kvalitet, og bildet kan lagres med bare en hundredel av den opprinnelige plassen. Et spørsmål man kan stille seg er følgende: Dersom man bare trenger en hundredel av informasjonen man samler inn, kunne man ikke da samlet inn informasjonen på en bedre måte slik at man slapp unna all den overflødige informasjonen?

Avansert matematikk

Det var dette spørsmålet matematikerne Terrance Tao og Emmanuel Candés stilte seg rundt 2005, og svaret de kom frem til har på usedvanlig kort tid dannet et helt nytt felt innen matematikk, et felt som i dag kalles Compressed Sensing. Det viser seg nemlig at dersom du gjør de riktige målingene, og legger litt avansert matematikk inn i hvordan du fyller inn den manglende dataen, så kan du faktisk slippe unna mesteparten av målingene. Knepet ligger i å anta at bildet ville vært komprimerbart om du samlet inn informasjonen på tradisjonelt vis. Å fylle inn manglende data kan tenkes på litt som å løse et ligningsystem med 50 ligninger og 100 ukjente. I matematikken lærer vi at et slikt problem har uendelig mange løsninger, og man må derfor forsøke å velge den løsningen man mener er mest “riktig”. Hva som gjør en løsning mer “riktig” enn en annen, må man velge selv. I Compressed Sensing velger man den løsningen som er mest mulig kompressibel.

Sekvensiell måling og tid

Å kunne bruke dette trikset på bilder tatt med mobiltelefonen er vel og bra, men ikke noe å heve på øyebrynene for. Mobilkameraene er jo gode nok fra før. Men matematikken er generell, og den virkelige slagkraften i teorien Candés og Tao utviklet ligger i situasjoner hvor det er vanskelig å samle all dataen. En MR-maskin gjør målinger i det som ofte kalles for k-rommet, hvor bildet er gitt som en sum av mange bølger med forskjellige frekvenser som sprer seg ut i hele rommet, heller enn ved enkeltpiksler slik vi er vant til. Mens et kamera måler informasjon til alle pikslene på en gang, må en MR-maskin måle de romlige frekvensene én etter én. Når alle frekvensene er målt, kan man transformere frekvensinformasjonen til pikselinformasjon, og man får et bilde som leger kan se på. Det er denne sekvensielle målingen av frekvenser som gjør at MR-maskiner bruker så lang tid. Og jo bedre oppløsning man krever, jo flere frekvenser må man måle, og jo lenger tid tar undersøkelsen.

Originalen viser strukturer som ligner MR

Perfekt gjenoppretting

Dette er nettopp den type problem hvor Compressed Sensing briljerer. Siden MR-bilder, slik som vanlige bilder, er veldig komprimerbare, kan man slippe unna å samle alle frekvensene. Nedenfor har vi et eksempel med simulert data. Det originale bildet viser strukturer som ligner på et MR-bilde. Vi kan så velge ut et lite knippe frekvenser som måles. Bilde nr. 2 viser hvor i frekvensrommet (k-rommet) vi velger frekvensene fra. Dette er sortert slik at de laveste frekvensene ligger nærmest midten av bildet. De hvite stripene markerer de valgte frekvensene.

Bilde nr. 2 viser hvor i frekvensrommet (k-rommet) vi velger frekvensene fra. De laveste frekvensene nærmest midten av bildet. De hvite stripene markerer de valgte frekvensene.

Det tredje bildet viser hvordan en tradisjonell MR-maskin vil forsøke å fylle inn den manglende informasjonen. Her antar vi at mengden av de manglende frekvensene ville vist seg å være 0, dersom vi hadde målt dem. Det siste bildet viser resultatet av en Compressed Sensing-gjenoppretting, hvor vi velger alle de manglende frekvensene på en slik måte at det endelige bildet blir mest mulig kompressibelt. I dette tilfellet viser det seg at den mest kompressible løsningen er det originale bildet, og vi får en perfekt gjenoppretting.

Det tredje bildet viser hvordan en tradisjonell MR-maskin vil forsøke å fylle inn den manglende informasjonen. Her antar vi at mengden av de manglende frekvensene ville vist seg å være 0, dersom vi hadde målt dem.

Konstruerte eksempler er én ting, virkelig data ser ikke så pent ut som i tilfellet over. Men metoden har også blitt testet i praksis, og vist seg å holde mål. Mellom 2009 og 2011 ble Compressed Sensing-basert MR testet ut i et pilotprosjekt ledet av Dr. S. S. Vasanawala ved Lucile Packard Children's Hospital i Stanford. Resultatene viste at tidsbruken for MR-undersøkelsen i flere tilfeller kunne kuttes ned til bare en sjettedel [1]. For dette arbeidet fikk de John Caffey-prisen i 2011.

 

Trenger ikke modifisere

Enkelte nye MR-maskiner leveres i dag med mulighet for å bruke Compressed Sensing-teknikken i målinger, selv om den nye teknikken foreløpig kun er godkjent til forskningsbruk. Enda mer spennende er det at teknikken kan implementeres på eksisterende MR-maskiner, uten at man trenger å modifisere selve måleapparatet. Siden all matematikken skjer etter at målingene er utført kan metoden forholdsvis enkelt implementeres på eksisterende maskiner, som er svært kostnadseffektivt sammenlignet med å handle inn nye apparater.

 

En sjettedel stråling

MR blir ofte vist frem som høydepunktet for anvendelser av Compressed Sensing, men det er mulig å benytte de samme teknikkene i flere medisinske målinger. Ved CT-undersøkelser er ikke problemet at målingene tar lang tid å gjennomføre, men at de medfører ioniserende stråling. Dagens CT-undersøkelser kan medføre stråling tilsvarende ti års bakgrunnsstråling. Målet med å innføre Compressed Sensing vil være å kunne kutte ned den mengden stråling som trengs for å få gode nok bilder. Så langt er det bare gjennomført studier på testdata tilsvarende eksempelet over, men resultatene er på høyde med de man ser for MR. Det er dermed grunn til å tro at man kan kutte ned mengden stråling til så lite som en sjettedel av dagens nivå, noe som i så fall ville gjort CT langt tryggere for pasienten. 

[1] : Practical parallel imaging compressed sensing MRI: Summary of two years of experience in accelerating body MRI of pediatric patients, http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5872579

Andreas Våvang Solbrå er stipendiat ved Fysisk institutt, Universitetet i Oslo

Mer om emnene

Du kan lese mer om compressed sensing i Universitetet i Oslo's forskningsmagasin Apollon.